“线段之和最短问题初探

“线段之和最短问题”初探

“线段之和最短问题”初探

教苑新秀2012年4月
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?浙江省嵊州市开发区三塘中学黄小芹
中考数学复习,最让老师头疼的是例题的选择与设计,如何让知识点在短短的45分钟内,让学生最大限度的掌握,是我们数学老师一直探索的课题.我觉得能对各种类型很好的归类总结,能帮助我们解决这一问题.线段之和最短问题在近几年的中考

中频繁出现,学生碰到此类问题往往束手无策,针对此种情况, 我把此类问题分成以下几种类型来解决.

个动点两个定点
例1有一小牧童,家住地,每天他赶着牛群先到河边饮
水,然后再PUB地吃草,他发现了一条捷径,使牛群所走的路程最短.你会用数学思想解决这个实际问题吧,谁来解释.

评析:这一问题可能有不
少学生很难一下子回答.所以
我觉得教师可以提示学生.若

河对岸有一草地曰.牧童想赶着牛群直接过河去B处吃草.

你知道捷径吗?那么学生很容
易想到两点间线段最短.直接把AB两点连一下即为最短路径.从即要使得AC+CB最短,若而联想到要解决刚才这个问题的话.在河对岸的话那就可以解决.而要把曰移到对岸就是要找点关于河Z的对称点B.然后连接A曰.NAB与Z的交点C即为使得路程最短的点.这样就解决了这一问题.

从而得到:解决一个动点两个定点型两线段距离最短的方法:转化为找其中一定点的对称点(对称轴为动点所在的直线),然后连接另一定点及对称点的线段
长度为最短距离.此类应用相当的广

泛,下面我们来看几个变式. 变式1:如图2,正方形ABCD的边

中.7毒幺-?初中版
评析:这一变式就是一动点两定点求最短问题的直接应用.无非是把背景放到一个正方形中,运用例题的作图的方法.借助动点?所在的正方形对角线AC为对称轴,,6B为D关于AC的对称点,连接BD与4C的交点为所求的使得DN+MN最小的点?.BM为它的最小值.就可求出日肘:1n这一变式中还可以改为P为AD上一点,AP=6,N仍为C上一动点,则?PMN的周长的最小值是多少?

??的周长即为PM+MN+PN,为定值,要使周长最小,即为
MN+PN最小.如图3.只需找出P关于对称轴AC的对称点.连接Pr

交C于点?,此时?PMN的周长最小,最小值为45+2V.此题
还可以把AP=6和DM=2变成AP+CM=12.求MN+PN最小值.这样就增加了一些难度,应该看出JP,G=A+CM-AB=4.从而可解得最小值为线段Pr的长.

类似的变式还可以存在于

等腰三角形,菱形,等腰梯形,抛
物线,圆等轴对称图形中.

变式2:如图4所示,在边长
为6的菱形ABCD中,ADAB=
6O.,E为AB的中点,腥AC上一

动点,试确定点F的位置,使 ABEF的周长最小,最小值是多

个三等分点,日是弧AN的中
点,踞直径七一动点,00的
半径为1,求AP+BP的最小值.(答

案:,/2)
变式4:如图6,已知梯形

ABCD,ADfBCLBCD=60.

AD=DC,BC=6,点?在C上,CN=

2,在AC上找一点使?BMN的周长最小,求出周长的最小值.

(答案:4+2\/丁)
变式5:已知抛物线y=axz+
bx+c的图像经过点,B,C三点.
(1)求此抛物线的解析式和对称
轴.(2)若一个动点自P出发,先
图4

.

/
\\\.,P|P?

图5

图6? C

个动点M自P出发,先到达轴上的某点(设为点E),再到达抛物
线的对称轴上某点(设为点F),最后运动到点A.确定使点主动
的总路径最短的点,点肭位置,并求出这个最短路程的长.
评析:此题的第二题为上面讲的两动点一定点型求最小值.
而第三题的情形属于下面我讲到的两动点两定点型.

1<《
答案:(1)?乙?卅2(2)26(3)Ef?,01,25,1.5),34

二,一个定点两个动点 此种题型又可以分为几类,下面我从三方面来分析

2012年4月教苑新秀
例2如图7,厶4OB=45.,P是
/_AOB内一点,PO=IO,9,R分别是
OA,OB上的动点,求APQR周长的
最小值.

评析:APQR周长即为尸p++
的长,.Y-条线段之和最短,没有

一
条线段的长度是固定的.而且这
涉及到三个点.一个定点.两个动点,要解决这一问题,可结合科

学中光路最短原理.找出P关于OA,OB的对称点P1和P2,然后连 接Pl,与DA,0曰分别交于点Q,R,些时?PQR)~长的周长最小,

总结:当碰到一个定点两个动点,能找到两条对称轴的且涉及到三线段之和最小时,我们可以作出定点关于这两条对称轴的为l6.所以当碰到一
个定点两个动点,但不能找到两条对称轴的情况下.我们可以找定点的一个对称点.然后向另一动点所在直线作垂直.该垂线段的长度即为要求的两线段的最短距离.

例4(2009年绍兴中考题24题):定义一种变换,平移抛物

线得到抛物线,使F2经过的顶点A.设的对称轴分别交,

于点D,B,点C~z.a关于直线BD的
对称点.(3)若:y=了12一了2十
号,经过变换后,AC=2,/了,点P图9
是直线Ac上的动点,求点P到点D的距离和直线AD的距离之和的最小值.

评析:点C在点A的右侧时.由题意可知A(1,2),C(1+2x/3,
2),B(1+,1),D(1+,/j一,3),由此四边形ABcD为菱形,
PD:咫.作刖_LAD交于点H,则PD+朋=PB+PH.要使PD+PH最小.即使P曰+朋最小.此最小值是点曰到AD的距离,即AABD边

上的高h,由于D?:1,AN:,/3,DB上Ac,所以/___DAN=30.,故

AABD~等边三角形,–,/,即点f刮点D的距离和直线AD的 距离之和的最小值为,/.此种类型中两线段中涉及到一垂线

例5如图l0,平面直角坐标系,4,两点的坐标分别为
(2,一3),B(4,一1)若C(a,0),D(a+3,0)是轴上的两个动点,请找
出点c,D的位置,使四边形ABDC的周长最短.

评析:四边形ABDC的周长为A+
BD+CD+AC.而AB和CD为定值.求周长
最短实际就是求AC+BD最小.这里涉
及到两个动点两个定点.而动点C--但

确定.则另一动点D也随之确定.因为它们的距离是3固定不变的.所以.我们

y
,
Cn,.

O:
A,
图1O
可以把沿C到D的方向平移3个单位长度到DA处.这时就转化为求BD+AD的最小值.即两个定点一个动点求最小值.如图A侣为BD+AD的最小值.从而求得C(1.25,0)D(4.25,0).

~112010年天津市中考第25题:在平面直角坐标系中,矩形

OACB的顶点0在坐标原点,顶点A,分别在轴,’,轴的正半轴 上,OA=3,OB=4,D为边OB的中点.(1)若E为边OA上的一个动

,1,A,
(2)f1,0}Ff?,0l\j/,j/
概括:两个动点两个定点:通过平移,使两动点合二为一,转
化为一动点两定点型解决.?

(上接第65页)
们的兴趣和自觉性,感到它们真正成为自己的经验,这就知识在学生头脑中的同化过程.

对概念进行巩固性练习训练,也体现对概念外延的把握与
学习.如无理数的概念定义是无限不循环的小数,常见的无理数

类型有三大类,一是开方不尽的方根,如,/,弋/了等;二是圆
周率1T;三是看似循环而实际不循环的数,如1.010010001…等.对无理数内涵探究与外延的探讨,对无理数概念理解才算透彻,

完全
总之,概念在初中数学学习中有着重要的作用,正确地掌握数学概念是掌握数算,证明,推理的有利依据,相反,运算证明,推理等数学活动,是学生深刻地掌握数学概念的重要途径.在课堂教学中,教师要精心设计教学情境,为学生的概念学习营造和谐的学习环境.

参考文献:

学通讯(教师阅读),2010年第8期1.曹泓.数学思想方法在初中概念教学中的渗透[J].数学教